벡터공간의 4가지 부벡터공간(Subspaces)

이번 포스팅에서는 벡터공간의 4가지 Subspaces라고 불리는 부벡터공간에 대해 알아보려고 한다. 이 부벡터공간들을 배우는 이유는 저번 포스팅의 내용이였던 Basis(기저 벡터)와 연관성이 있다.

 

Basis는 기본적으로 선형독립을 이루는 최소 개수의 unique한 벡터의 집합을 의미하며 이러한 Basis 자체는 Unique하지 않고 여러개라는 것을 알게되었다. 그런데 여러가지의 Basis 중에 적절한 Basis 하나를 선택해야 하는데 이 때 어떤 기준으로 골라야 할까? 이 때 선형독립을 이루는 벡터들끼리 서로 수직인 관계를 갖고 있는 Basis을 고르면 된다.

 

그렇다면 수직인 관계는 무엇을 의미할까? 이 때 알아두어야 할 개념이바로 벡터공간의 4가지 Subspace들이다.

차근차근 하나씩 알아보자. 밑의 그림을 보면서 이해해보자.

 

4가지 부벡터공간(Subspaces)들은 뭐가 있을까?

 

우선 가장 첫번째로는 Column space이다. '열 벡터'로 이루어진 선형결합들의 조합을 의미한다. 두번째는 Null space라고 불리우는 영벡터공간이다. 세번째는 '행 벡터'로 이루어진 선형결합들의 조합을 의미하는 Row space이다. 이 때 Row space를 구하기 위해서는 주어진 행렬 A의 Transpose를 취한 후의 Column vector의 선형결합을 구하면 된다. 마지막으로는 행렬 A의 Transpose취한 상태에서의 영벡터공간이다. 

 

이제 그렇다면 이 4가지 Subspace들이 서로 어떤 관계를 갖고 있는지 밑의 예시를 살펴보면서 알아가보자. 이 4가지 부벡터공간들에 대한 관계는 이전 포스팅 말미에 살짝 언급했던 적이 있다. 

#https://techblog-history-younghunjo1.tistory.com/77?category=900087

영벡터공간(Null Space)과 해집합

 

4가지 부벡터공간들간의 관계

 

우선 분봉색 동그라미 친 부분은 각각 Columns space와 Left Null space를 의미한다. 각각 선형독립으로 이루어진 벡터만을 남기고 그래프상으로 그림을 그려보면 각 X축, Y축 수직관계를 이룸을 알 수 있다. 그리고 각 차원들을 더하게 되면 총 2차원이라는 벡터공간의 차원수를 알아낼 수 있다.

 

다음 파란색 동그라미 친 부분은 각각 Null space와 Row space를 의미한다. 이것들 또한 선형독립으로 이루어진 벡터만을 추출하고 그래프상으로 그려보면 Null space는 x2, x3축으로 이루어진 평면을 의미하고 Row space는 x1축 위에 모든 점들의 집합을 의미한다. 이 두개를 하나의 3차원 상에 그래프로 표시해보면 두 개가 서로 수직관계를 이룬다는 것을 알 수 있다. 또 각 차원을 더해주면 2차원 + 1차원 = 3차원 즉, 벡터 공간이 3차원을 알아낼 수 있다.

 

다음은 Matrix 형태에 따라 Inverse Matrix(역행렬)의 존재에 대한 내용이다. 밑의 그림을 보자.

 

역행렬의 존재여부

 

우선 가장 이쁜(?) Square Matrix일 때의 경우에는 Inverse Matrix를 왼쪽이든 오른쪽이든 놓아도 항상 해를 따질 수 있다. 하지만 Rectangular Matrix일 때의 경우는 다르다. 방정식의 개수와 미지수의 개수에 따라 경우가 또 달라진다.

 

먼저 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 적을 때의 2) 경우를 살펴보자. 이 때의 경우에는 Right Inverse의 경우에는 해를 따질 수 있는 경우가 되지만 Left Inverse의 경우에는 오른쪽 그림처럼 개수가 많은 미지수의 개수 만큼 행렬이 커지게 되며 해를 따지기 어렵게 된다.

 

다음은 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 많을 때의 3) 경우이다. 이 때는 Left Inverse의 경우에는 해를 구할 수 있는 경우가 되지만 Right Inverse의 경우에는 오른쪽 그림처럼 개수가 많은 방정식의 개수만큼 행렬이 m by m으로 커지며 해를 구하기 어렵게 된다.