영벡터공간(Null Space)과 해집합

이번 포스팅에서는 영벡터공간에서의 해집합에 대해서 알아보려고 한다. 우선 영벡터공간에 대해서 알아보자.

영벡터공간이란, Ax=0을 만족하는 'x'라는 벡터의 모든 해집합을 말한다. 그런데 우리가 여기서 체크하고 넘어가야 할 부분이 있다. 바로 Ax=0을 만족하는 'x라는 벡터의 모든 해집합이 공간(Space)라고 할 수 있는지 조건을 체크하는 것이다.

Space가 될 수 있는 조건은 3가지가 있다.

 

1. 벡터집합의 요소 중 임의의 두 개의 벡터의 합도 Null Space(영벡터공간)에 포함되어야 한다.

2. 벡터집합의 요소에 임의의 Scala값을 곱해도 Null Space(영벡터공간)에 포함되어야 한다.

3. 영벡터공간에서는 당연한 이야기지만 '원점을 포함'해야 한다.

영벡터공간

 

이제 우리가 구하고자 하는 미지수 즉, 해집합을 어떻게 표현할 것인가를 알아내기 위해서 먼저 사다리꼴 행렬이라고 불리우는 'Echelon form' U 행렬에 대해서 알아보자. 밑의 그림을 예시를 보면서 차근차근 살펴보자. 우선 주어진 4개의 미지수와 3개의 연립방정식을 행렬로 나타난 수식에서 기존에 배웠던 것처럼 역행렬을 구하는 방식처럼 가우스 소거법을 해보자.

 

해집합을 표현하기 위해서 어떻게 해야할까?

 

가우스 소거법을 진행하다 보면 그림 속 첫번째 줄 행렬의 수식에서 가장 오른쪽 행렬인 'Row Reduced Form'형태가 나오게 된다. 즉, 직사각형 행렬이다 보니 Pivot값들이 정방행렬 일 때와 정확하게 딱 떨어지지 않지만 2개의 Pivot값이 있는 상태로 우리는 해집합을 표현할 수 있는 벡터들을 구할 수 있다. 

 

두번째 줄의 수식을 보면 Pivot값들을 우리는 Pivot variable이라고 하면 그 외의 요소들을 Free variable이라고 칭하고, 위에서 든 예시에 적용해본다면 Pivot variable은 u,w값, Free variable은 v,z값이 되게 된다. 그리고 Pivot variable를 Free variable과 관련된 식으로 바꾸어준 후(u=-3v+z, w=-z) 미지수 u,v,w,z를 초록색 네모칸과 같이 Linear Combination으로 바꾸어줄 수 있다. 이렇게 표현함으로써 초록색 네모칸의 두 개의 벡터에 v,z라는 임의의 Scala값을 곱하여도 Null Space(영벡터공간)에 포함됨을 증명할 수 있다. 

 

가장 오른쪽 수식은 "굳이 x의 해집합을 표현하라!" 라고 문제가 주어진다면 위와 같이 작성하면 된다. 

 

그런데 이상한 점이 하나 있다. 우리가 구하려고 했던 해집합은 4차원(u,v,w,z)이였다. 하지만 결과적으로 구한 벡터들의 차원 2차원(v,z)이며 나머지 2차원은 대체 어떻게 된걸까? 이는 다음 시간에 배울 Row vector의 Row Space와 Left null Space와 연관이 되어 있다. 

 

나머지 2차원은 어디로 간 것일까?

 

참고로 추후에 다룰 내용이지만 우리가 이번 포스팅에서 배운 Null Space는 다음시간에 배울 Row Space와 차원상(차원수)에서 상호보완의 관계를 갖고 있고 현재까지 다룬 Column Space와 앞으로 배우게 될 Left null Space와 상호보완의 관계를 갖고있음을 미리 알아두자.