벡터공간(Vector space)과 열벡터공간

이번 포스팅에서는 벡터공간에 대한 개념과 특징, 그리고 열(Column)벡터공간에 대해서 알아보려고 한다. 본격적인 내용에 들어가기에 앞서 지금까지 배웠던 그리고 앞으로 배우게 될 내용의 큰 구조를 보고 들어가려고 한다. 우리는 그동안 연립방정식을 밑의 그림과 같이 나타낸 후 가우스 소거법을 이용해서 미지수를 구했고 특정 행렬의 역행렬을 구하기 위해서 가우스 소거법을 확장한 Gauss-Jordan Method를 알아보았다.

 

연립방정식을 행렬로 표현하기

 

우리는 본질적으로 구하려고 하는 것이 x1,x2,x3에 해당하는 미지수였다. 미지수와 식의 개수 관계에 대한 경우의 수는 다음과 같이 세가지가 있다.

 

1. 미지수 개수 = 식의 개수

2. 미지수 개수 >= 식의 개수

3. 미지수 개수 < 식의 개수

지금 작성하고 있는 포스팅 이전까지는 1번에 해당하는 경우를 공부해왔다. 이제 앞으로 소개할 내용들은 2번과 3번에 대한 내용인데, 2번과 같은 조건의 상황에서는 Solution 즉, 해가 아예 없는 No solution이거나 Solution이 무한한 개수일 때 두 가지로 나뉘어진다. Solution이 무한한 개수일 때가 이제 소개할 Vector Space(벡터공간) 개념과 연관이 되어 있다.

마지막으로 3번째 조건의 경우에는 우선 No solution이다. 하지만 특정한 기준치를 세우고 최소한의 error를 갖게하는 최적의 교점을 어림잡아 구해주는 상황이다.

 

결과적으로 정리해본다면, 1번과 3번의 경우에는 Unique한 해를 찾아주는 문제이지만 2번의 경우에는 무한대의 해(Solution)을 어떤 식으로 표현해줄 것인가에 대한 문제이다.

 

그렇다면 이제 본격적인 벡터공간의 개념에 대해서 알아보자.

 

1. Vector Space(벡터공간)

우선 Vector Space와 Sub Space를 비교해볼 수 있는데 여기서 중요한 개념은 Space이다. Space란, 벡터 요소의 덧셈, Scalar(숫자값)의 곱셈에 포함되어 있는 집합(set)을 의미한다. 다음 그림을 보면서 이해해보자.

 

벡터공간이란?

위 그림의 오른쪽 예시를 봐보자. X,Y라는 벡터가 n차원이라는 공간에 속한다고 가정하자. 그리고 C라는 Scalar(숫자값=상수값)이 있다고 하자. 이 때 X,Y는 V 벡터에 속하며 X+Y라는 벡터와 X,Y에 각각 C라는 Scalar값을 곱해주고 더한 벡터도 V라는 벡터에 속하게되면 이 때 V는 Vector Space라고 정의하게 된다.

 

그렇다면 Vector Space의 특징과 Vector Space가 되기위한 조건을 알아보자.

 

벡터공간의 특징과 조건

대표적으로 총 7가지의 특징(성질)이 있다. 이 중에서 가장 눈여겨봐야 할 부분은 3번과 4번이 될 것 같다. 3번의 특징의 경우, 0값으로 이루어진 벡터는 항등원 벡터의 역할을 한다. 이는 결국 Vector Space가 원점을 지나야 함을 의미하기도 한다. 4번의 특징같은 경우 각 Vector에 대해서는 역원벡터가 1개만 존재(unique)해야 한다는 점이다.

 

그리고 그림속의 ex) 예시를 보면서 행렬로 나타내는 부분이 결국 벡터가 되고 이는 하나의 벡터공간이 될 수 있음을 생각해보자.

 

2. Sub Space

다음은 Sub Space이다. Sub Space는 밑의 그림과 같이 V라는 공간벡터안에 Sub로 들어있는, 집합으로 얘기하면 '부분집합'의 개념이다. 하지만 Sub Space도 벡터공간안에 종속하는 개념이므로 반드시 1번 목차에서 보았던 벡터공간의 조건(특징)을 지니고 있어야 한다.

 

Sub Space란?

 

또 한가지 알아두어야 할 점은 Sub Space안에도 반드시 원점을 지나는 Zero-vector(0으로 구성된 벡터)가 존재해야 한다는 점이다. 

 

밑의 예시는 원점을 지나는 일차방정식을 예로들어 Sub Space를 표현해본 것이다. x,y는 y=mx라는 직선위의 해집합의 원소이다. 따라서 1차원 측면(직선 관점)에서 볼 때 S라는 해집합은 Vector Space 조건을 만족하는 하나의 Vector Space라고 할 수 있다. 

 

Sub Space의 예시

반면에 y=mx라는 직선을 2차원적인 측면에서 본다고 하면 S라는 해집합은 Vector Space의 Sub Space가 된다. 따라서 우리는 하나의 해집합은 하나의 Vector Space라고 할 수 있으며, 해집합이 무한히 많은 경우에는 해집합의 표현을 "어떤 Vector Space다"라고 정의할 수 있다.

 

3. Column Space(열 벡터공간)

다음은 열 벡터공간에 대한 내용이다. 우리가 지금까지 공부했던 벡터들은 모두 Column Vector로 나타내어왔다. 열 벡터공간은 이러한 열 벡터들의 모든 선형결합의 집합을 의미한다. 밑의 그림을 보자.

 

열 벡터공간이란?

 

열 벡터공간은 모든 열벡터를 C라는 Scala값을 곱하여 만들어 줄 수 있는 모든 조합을 의미한다. 오른쪽 그림을 관찰해보자. Ax=b라는 식을 열 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다. '선형결합의 합 = b' 로 나타내며 만약 b가 행렬 A의 열 벡터공간(Column Space)에 속한다면 적어도 하나의 해(미지수들)이 존재할 것이다. 하지만 b가 A행렬의 열 벡터공간에 속하지 않는다면 계산할 필요없이 해가 없음(No solution)으로 판단하면 된다.