퓨리에(Fourier) 변환과 확률변수의 특성함수

이번 포스팅에서는 퓨리에변환과 이를 역 정리시킨 Inverse 퓨리에변환과 특성함수(Characteristic)에 대해서 알아보려고 한다. Inverse 퓨리에변환은 수학에서 많은 유형의 함수에 대해 푸리에 변환에서 함수를 복구 할 수 있다.

보통 퓨리에변환은 주파수공간으로 확장시킬 때 이용하는데 공식은 밑의 식처럼 이루어진다.

 

1. 퓨리에변환과 Inverse 퓨리에변환

 

퓨리에변환과 Inverse 퓨리에변환

여기서 우리가 알아야 할 개념은 3가지이다. 필기 속에서 j, w, T 라고 표기된 부분은 다음과 같은 개념을 이용한다.

 

• j : 복소수의 허수로서 제곱을하면 -1이 된다.
• w : w는 angular Frequency로서 2πf 가된다. 여기서 또 f = frequency로 우리가 흔히 알고히는 헤르츠(Hz)를 의미한다.
• T : T는 Period 주기로 주기의 역수는 위에서 언급한 f(Frequency)를 의미한다.

2. 특성함수

 

특성함수

이번엔 퓨리에변환을 이용한 특성함수의 특징을 알아보자. fx(X)함수를 퓨리에변환을 이용하여 변환을 해준다. 이렇게 변환해준 함수에 w=0을 대입하면 1의 결과가 된다.

 

이 특성함수의 Property중 1번 특징인 Moment Generating Property를 살펴보자. 

퓨리에변환한 함수를 1번씩, 2번씩 미분을 통해서 결과값을 도출해보면 위와 같다. 그리고 n번미분한 경우를 통해서 일반화된 공식을 나타낼 수 있다.

 

다음은 Convolution Property 특성이다. 우리가 이전에 배웠던 두 개의 확률변수의 합으로 이루어진 새로운 확률변수를 구하기 위해 Convolution을 이용했던 것처럼 똑같이 특성함수에도 존재한다.

 

Convolution 특성

 

이를 퓨리에변환에 적용하게되면 오른쪽 계산과정과 같아진다. 똑같이 하나의 함수를 선택해 대칭 후 Z만큼 평행이동 한후 계산을 해주면 된다. 이를 계산한 후 도출된 결과값인 함수를 Inverse 퓨리에변환을 해주면 fz(Z)라는 함수로 결국 변환되게 된다.

 

이번 포스팅에서는 퓨리에변환에 대해 얕게 알아본 내용으로서 더욱 더 깊은 공부가 요구되는 듯하다. 중간중간에 나오는 선형대수학 지식과 관련되어 설명을 교수님이 해주셨지만 선형대수학에 대한 이해가 없는 지라 학습효과가 효율적이지는 못했다. 이번 수업을 통해 선형대수학 지식의 필요성을 느낀게 아닌가 싶다.